Neue Erkenntnisse zu Andlers Losgrößenformel
Überblick
Die Bestimmung des durchschnittlichen Lagerbestands im klassischen statischen Losgrö-
ßenmodell mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit ergibt für konkrete Zahlenbei-
spiele, daß der durchschnittliche Lagerbestand nicht der halben Losgröße entspricht.
Eine Untersuchung der ersten Quellen zum klassischen Losgrößenmodell führt zu dem
Ergebnis, daß bereits Andler in seiner im Jahr 1929 veröffentlichten Dissertation diese
Erkenntnis darstellt und eine allgemeine Formel für die Bestimmung des tatsächlichen
durchschnittlichen Lagerbestands vorschlägt. Diese damals offenbar erstmals veröffent-
lichte neue Erkenntnis geriet später jedoch wieder in Vergessenheit.
Andlers genauerer Ausdruck für den durchschnittlichen Lagerbestand führt zu einer ande-
ren Formel für die optimale Losgröße. Auch wird deutlich, daß die anteiligen Rüstkosten
als Teil des gebundenen Kapitals berücksichtigt werden müssen. Eine Konsequenz daraus
ist, daß streng genommen kein konstanter von der Losgröße unabhängiger Lagerhaltungs-
kostensatz verwendet werden kann.
Entgegen Andlers Vermutung führt die Annahme eines Mindestbestands in Höhe einer
halben Entnahmemenge nicht zur klassischen Losgrößenformel von Harris. Exakt ist die
mit am weitesten verbreitete und älteste Formel der Betriebswirtschaftslehre tatsächlich
nur, wenn eine Sicherheitsvorlaufzeit von der Länge der halben Reichweite einer Entnah-
memenge verwendet wird.
1
A.
Einführung
Im klassischen statischen Einprodukt-Losgrößenmodell mit unendlicher Produktionsge-
schwindigkeit wird davon ausgegangen, daß eine immer gleich große Menge an Teilen
– die Losgröße – in konstanten zeitlichen Abständen den Bestand des betrachteten La-
gers erhöht, während eine immer gleich große Menge an Teilen – die Entnahme- oder
Bedarfsmenge – in konstanten zeitlichen Abständen den Lagerbestand reduziert. Als Ent-
nahmemenge wird häufig 1 angenommen, dies ist jedoch keine notwendige Einschrän-
kung. Wichtig ist nur, daß die Lagerentnahme über den gesamten betrachteten Zeitraum
gleichmäßig verläuft: jeweils die identisch gleiche Menge in jeweils identisch gleichen
zeitlichen Abständen.
Die Vorstellungswelt dieses Modells ist in allen Belangen deterministisch: Lagerzu-
gänge und Lagerabgänge können mit Sicherheit bezüglich Zeitpunkt und Größe vorausge-
sagt werden. Es reicht daher aus, daß bei vollständig geleertem Lager der nächste Lager-
zugang erst zu dem Zeitpunkt erfolgt, wenn wieder eine Bedarfsmenge entnommen wer-
den soll. Ein Teil der Lagerzugangsmenge – genau eine Entnahmemenge – wird dann gar
nicht eingelagert, sondern direkt zur Deckung des aktuellen Bedarfs verwendet (Abb. 1).
Somit bewegt sich der Lagerbestand zwischen 0 und der um eine Entnahmemenge redu-
zierten Losgröße. Bei einer Losgröße von 1 und einer Entnahmemenge von 1 ist das Lager
demnach immer leer und folglich der durchschnittliche Lagerbestand gleich null (Abb. 2,
links). Umfaßt bei gleicher Entnahmemenge das Los zwei Teile, ist die Hälfte der Zeit ein
Teil im Lager, die andere Hälfte der Zeit ist das Lager leer. Der durchschnittliche Lager-
bestand beträgt eine halbe Einheit (Abb. 2, Mitte). Bei Losgröße 3 sind für ein Drittel der
Zeit zwei Teile im Lager, für ein weiteres Drittel der Zeit ist ein Teil im Lager und für das
restliche Drittel der Zeit ist das Lager leer. Der durchschnittliche Lagerbestand beträgt
Abb. 1: Verlauf des Lagerbestands (links) und durchschnittlicher Lagerbestand (rechts) für Los-
größe 4 · m (m = Entnahmemenge)
2
Abb. 2: Verlauf des Lagerbestands (oben) und durchschnittlicher Lagerbestand (unten) für Los-
größen 1 · m, 2 · m und 3 · m (m = Entnahmemenge)
eine Einheit (Abb. 2, rechts).
Der deutsche Ingenieur Kurt Andler hat in seiner im Jahr 1929 erschienenen Dis-
sertationsschrift (Technische Hochschule Stuttgart) diesen Verlauf des Lagerbestands be-
schrieben (Andler 1929, S. 48ff.). Zur Bestimmung des durchschnittlichen Lagerbestands
für jede beliebige Losgröße leitet Andler die Beziehung
x · m – 1 · m
2
her, wobei m für die konstante Entnahmemenge steht (bei Andler: ein Monatsbedarf) und
x angibt, aus wie vielen Entnahmemengen ein Los besteht (ein Los umfaßt also x · m
Teile).
Entgegen der Feststellung von Andler wird bis heute im klassischen Losgrößenmodell
die halbe Losgröße als durchschnittlicher Lagerbestand verwendet, mit den oben einge-
führten Symbolen
x · m
2
.
Spätestens seit dem Hinweis von Erlenkotter (1989, 1990) wird angenommen, daß der
amerikanische Ingenieur, Erfinder und spätere Patent-Anwalt Ford Whitman Harris als
erster dieses Losgrößenmodell in einem Aufsatz beschrieben hat (Harris 1913). Dort heißt
es zur Bestimmung des durchschnittlichen Lagerbestands lediglich: „The average stock,
if the movement is regular, it will be evident, is one-half of X“ (bei Harris steht X für die
optimale Losgröße). Wie oben bereits dargestellt wurde, trifft diese Aussage so nicht zu.
Der durchschnittliche Lagerbestand ist tatsächlich um eine halbe Entnahmemenge (
1
2
– · m)
kleiner. Harris hat offenbar übersehen – oder ist großzügig darüber hinweggegangen, um
3
Abb. 3: Von Harris irrtümlich angenommener Verlauf des Lagerbestands (links) und der daraus
resultierende durchschnittliche Lagerbestand (rechts) bei Losgröße 4 · m (m = Entnahmemenge)
die Ausführungen einfach zu halten –, daß durch die Entnahme einer Bedarfsmenge bei
Eintreffen eines Loses der maximale Lagerbestand um diese Bedarfsmenge kleiner ist
als die Losgröße. Die Verwendung der halben Losgröße als durchschnittlicher Lagerbe-
stand bedeutet also eine Überschätzung des tatsächlich vorliegenden durchschnittlichen
Lagerbestands um eine halbe Entnahmemenge (Abb. 3).
(Den Praktiker mag an dieser Stelle beruhigen, daß der prozentuale Fehler bei der Be-
stimmung des durchschnittlichen Lagerbestands im Harris-Modell – er beträgt
1
x–1
–– · 100%
– mit steigender Losgröße schnell kleiner wird. Ist die Losgröße gleich der zweifachen
Entnahmemenge, wird der durchschnittliche Lagerbestand im Harris-Modell um 100%
überschätzt. Entspricht die Losgröße der elffachen Entnahmemenge, beträgt der Fehler
noch 10%, bei der 21fachen Entnahmemenge 5%, bei der 51fachen Entnahmemenge 2%
und bei der 101fachen Entnahmemenge nur noch 1%.)
Andlers genauerer Ausdruck für den durchschnittlichen Lagerbestand hat eine etwas
andere Bestimmungsformel für die optimale Losgröße im klassischen Losgrößenmodell
zur Folge (Abschnitt B). Es wird auch deutlich, daß die anteiligen Rüstkosten als Teil des
gebundenen Kapitals berücksichtigt werden müssen, was unter anderem auch bedeutet,
daß ein konstanter von der Losgröße unabhängiger Lagerhaltungskostensatz unangemes-
sen ist. Andler kannte aus einem im Jahr 1924 in der Fachzeitschrift Technik und Betrieb
veröffentlichten Artikel auch die Harris-Formel und entschied sich nach einem gründli-
chen Vergleich mit seiner Formel letztlich dafür, die Harris-Formel für seine weiteren Un-
tersuchungen zu verwenden. Andlers Begründung, die allerdings einen interessanten Mo-
dellierungsfehler enthält, wird in Abschnitt C dargestellt. Es wird unter anderem gezeigt,
daß die Harris-Formel für genau eine Ausprägung einer Sicherheitsvorlaufzeit exakt ist.
Im Abschnitt D wird der von Andler zitierte Artikel mit der Harris-Formel näher betrach-
tet. Es handelt sich hierbei möglicherweise um die erste deutschsprachige Darstellung des
klassischen Losgrößenmodells mit unendlicher Produktionsgeschwindigkeit. Abschnitt E
4
enthält eine Zusammenfassung der Untersuchungsergebnisse und abschließende Bemer-
kungen. Im Anhang sind die relevanten Seiten aus Andlers Dissertation abgedruckt.
B.
Die optimale Losgröße von Harris und die optimale
Losgröße von Andler
Die unterschiedlichen Ausdrücke für den durchschnittlichen Lagerbestand Harris: (
x·m
2
–– ),
Andler: (
x·m–1·m
2
––––– ) führen zu unterschiedlichen Kostenfunktionen und schließlich zu unter-
schiedlichen Formeln für die optimale Losgröße.
Sowohl Harris als auch Andler verwenden als Zielkriterium für die Optimierung die
durchschnittlichen Gesamtkosten pro Stück, die durch geschickte Wahl der Losgröße mi-
nimiert werden sollen. Die durchschnittlichen Gesamtkosten pro Stück bestehen (inklu-
sive nicht-entscheidungsrelevanter Komponenten) in beiden Kostenfunktionen aus den
gleichen drei Kostenblöcken: (1.) den Stückkosten (Material-, Lohn- und Fertigungsko-
sten), (2.) den anteiligen Rüstkosten (bei Andler: Einrichtekosten) pro Stück sowie (3.)
den anteiligen Lagerhaltungskosten pro Stück. Die anteiligen Lagerhaltungskosten pro
gefertigtem Teil können zum Beispiel so berechnet werden, daß zunächst die durch-
schnittlichen Lagerhaltungskosten pro Jahr bestimmt werden und diese dann durch die
Jahresproduktionsmenge geteilt werden. Für die Berechnung der durchschnittlichen La-
gerhaltungskosten pro Jahr wird der durchschnittliche Lagerbestand in Stück mit dem pro
Stück durchschnittlich gebundenen Kapital (Stückkosten plus anteilige Rüstkosten) und
dem Lagerhaltungskostenfaktor für ein Jahr multipliziert. Mit den Symbolen
B
Jahresbedarf = Jahresproduktionsmenge,
i
Lagerhaltungskostenfaktor zur Bestimmung der jährlichen Lagerhaltungskosten,
K
durchschnittliche Gesamtstückkosten (einschließlich anteiliger Rüst- und Lager-
haltungskosten),
k
Stückkosten (Material-, Lohn-, und Fertigungskosten) ohne anteilige Rüst- und
Lagerhaltungskosten,
m
konstante Entnahmemenge,
x
Multiplikator zur Bestimmung der Losgröße (Losgröße = m · x) und
r
Rüstkosten je Los
lautet in vereinheitlichter Schreibweise die Kostenfunktion von Harris
und die Kostenfunktion von Andler
5
Der Unterschied zwischen den beiden Kostenfunktionen besteht in dem Term
den anteiligen Lagerhaltungskosten für den von Harris zuviel angesetzten Teil des durch-
schnittlichen Lagerbestands.
Es mag zunächst verwundern, daß bei der Bestimmung des gebundenen Kapitals ne-
ben den Stückkosten auch anteilige Rüstkosten berücksichtigt werden, weil das in vie-
len Lehrbüchern, in denen meist ein konstanter Lagerhaltungskostensatz verwendet wird,
nicht getan wird. Tatsächlich ist die Höhe des pro Stück gebundenen Kapitals wegen
der anteiligen Rüstkosten von der Losgröße abhängig, wodurch die in den gelagerten
Einheiten gebundenen anteiligen Rüstkosten grundsätzlich relevant sind für die Losgrö-
ßenentscheidung und ein konstanter Lagerhaltungskostensatz – streng genommen – nicht
verwendet werden kann.
Ableiten der Kostenfunktionen nach x ergibt als Steigungsfunktion bei Harris
und bei Andler
Im gesuchten Minimum der Kostenfunktionen ist die Steigung gleich null. Nullsetzen und
Auflösen der Steigungsfunktionen nach x führt demnach zu Bestimmungsformeln für die
optimale Losgröße als Vielfaches der Entnahmemenge. Bei Harris lautet der Multiplikator
zur Bestimmung der optimalen Losgröße
Die zweiten Ableitungen
ergeben für alle x* positive Werte. Durch Multiplikation der Bestimmungsformeln mit m
erhält man Formeln für die optimale Losgröße x*· m:
Die genauere optimale Losgröße nach Andler ist also kleiner als die mit der Formel von
Harris berechnete Losgröße. Je größer die Entnahmemenge (m), der Lagerhaltungskosten-
faktor (i) oder die Rüstkosten (r), desto größer ist bei sonst gleichen Werten die Differenz
zwischen den beiden Losgrößen.
6
C.
Andlers Begründung für die Bevorzugung der Formel
von Harris
Andler erklärt die Abweichung seiner Formel von Harris’ Formel damit, daß für die Rich-
tigkeit der Harris-Formel lediglich zusätzlich zu den in der Quelle explizit angegebenen
Annahmen vorausgesetzt werden müsse, daß die halbe Entnahmemenge „als Mindestla-
germenge im Lager ruht“ (Andler 1929, S. 55), also zusätzlich zum Losgrößenbestand
ein konstanter Sicherheitsbestand in Höhe einer halben Entnahmemenge gehalten wird.
Als Entnahmemenge verwendet Andler einen Monatsbedarf, so daß er diese Mindestla-
germenge als einen „14tägigen Sicherheitszuschlag für die Ablieferung der Serien [= Lo-
se]“ (S. 55) interpretiert. Seine zweiteilige Begründung für die Bevorzugung der Harris-
Formel gegenüber seiner eigenen Formel lautet: „Da diese Verhältnisse [gemeint ist der
14tägige Sicherheitszuschlag] den Bedürfnissen der Praxis im allgemeinen entsprechen
und die Formel (12) [= die Harris-Formel] für die praktische Anwendung die einfachste
ist, sei in Zukunft [= im restlichen Teil der Dissertation] nur mit dieser gerechnet“ (S. 55).
Andler analysiert zutreffend, daß die Verwendung der halben Losgröße als durch-
schnittlicher Lagerbestand bedeuten kann, daß sich ständig ein Mindestbestand in Höhe
einer halben Entnahmemenge im Lager befindet (Abb. 4). Er irrt aber mit der Schlußfol-
gerung, daß die Annahme eines solchen Mindestbestands zur Harris-Formel führt. Schon
aus einer grundsätzlichen modelltheoretischen Überlegung heraus kann Andlers These
nicht zutreffen. Die Entscheidungsvariable im Modell ist die Losgröße. Der Mindestbe-
stand, wie Andler ihn annimmt, ist vollkommen unabhängig von der Losgröße (es besteht
nur ein Zusammenhang mit der Entnahmemenge). Wenn aber der Mindestbestand von
der Losgröße unabhängig ist, dann können die durch den Mindestbestand verursachten
Kosten nicht entscheidungsrelevant sein für die Wahl der Losgröße. Die Annahme eines
Mindestbestands in Höhe einer halben Entnahmemenge kann also nicht den Unterschied
Abb. 4: Verlauf des Lagerbestands (links) und durchschnittlicher Lagerbestand (rechts) bei Los-
größe 4 · m und Mindestbestand
1
2
– · m (m = Entnahmemenge)
7
zwischen Andlers Formel und der Formel von Harris erklären.
Es stellt sich dann die Frage, wie Andler – und nach ihm auch Malich (1957) – zu
dem rechnerisch scheinbar richtigen Ergebnis kommen, daß ein Mindestbestand zu ei-
ner veränderten Formel für die optimale Losgröße führe. Der entscheidende Punkt ist
die Berücksichtigung der anteiligen Rüstkosten als Teil des gebundenen Kapitals. Andler
verwendet für alle gelagerten Einheiten, egal ob Losgrößenbestand oder Mindestbestand,
denselben Betrag für das pro Stück gebundene Kapital: Stückkosten plus anteilige Rüst-
kosten. Geht man davon aus, daß die Einheiten des Mindestlagerbestands zusammen mit
den Einheiten des ersten Loses gefertigt werden, dann wird das zur Deckung der Rüst-
kosten aufgebrachte Kapital jedoch durch den Verkauf der „regulären“ Einheiten des er-
sten Loses (ohne die Einheiten des Mindestbestands) bereits wieder vollständig erlöst (im
Modell wird grundsätzlich davon ausgegangen, daß die Stückerlöse mindestens die Ge-
samtstückkosten decken). In den Einheiten des Mindestbestands ist also (spätestens nach
Verkauf aller Einheiten des ersten Loses) nur Kapital in Höhe der Stückkosten gebun-
den. Die Kostenfunktion muß demnach für einen Mindestbestand (MB) im Umfang von
s Entnahmemengen tatsächlich lauten
und damit für einen Mindestbestand in Höhe einer halben Entnahmemenge (s =
1
2
–)
und nicht, wie Andler glaubte,
(Falls der Mindestbestand noch vor dem ersten Los mit einem eigenen Rüstvorgang
hergestellt würde, wären zwar auch für die Einheiten des Mindestbestands die anteiligen
Rüstkosten als Teil des gebundenen Kapitals zu berücksichtigen, sie betrügen aber bei
einem Mindestbestand in Höhe einer halben Entnahmemenge nicht
r
x·m
–– , sondern
r
1
2
–·m
––.)
Allerdings liegt Andler mit seinen Überlegungen nicht weit von einer anderen zu-
sätzlichen Modellannahme entfernt, die tatsächlich zu der Kostenfunktion von Harris und
8
Abb. 5: Verlauf des Lagerbestands (links) und durchschnittlicher Lagerbestand (rechts) bei Los-
größe 4 · m und Sicherheitszeit
1
2
– · Verbrauchsperiode (m = Entnahmemenge)
somit zur Harris-Formel für die optimale Losgröße führt. Wird gefordert, daß die Lose
jeweils nicht erst zum nächsten Entnahmezeitpunkt, sondern bereits früher geliefert wer-
den sollen, ergibt sich ebenfalls ein höherer durchschnittlicher Lagerbestand (Abb. 5).
Im Unterschied zu einem kontinuierlich gehaltenen, konstanten Mindestbestand, werden
bei einer solchen Sicherheitsvorlaufzeit keine zusätzlichen Einheiten produziert. Die Lose
werden lediglich früher als eigentlich notwendig angeliefert (zu diesem Pufferungskon-
zept siehe z. B. Tempelmeier 2005, Abschnitt E.1.2). Das bedeutet, daß hier tatsächlich in
jeder gelagerten Einheit Rüstkosten gebunden sind. Anders als bei einem konstanten Min-
destbestand, ist bei einer Sicherheitszeit für jede gelagerte Einheit – egal ob Losgrößen-
oder (temporärer) Sicherheitsbestand – bei der Bestimmung der Lagerhaltungskosten der-
selbe Kapitalbetrag anzusetzen. Um einen durchschnittlichen Lagerbestand in Höhe einer
halben Losgröße zu erreichen, muß angenommen werden, daß die Lagerzugänge nicht zu
den Zeitpunkten erfolgen, wenn nach Räumung des Lagers die nächsten Einheiten benö-
tigt werden, sondern zeitlich genau zwischen dem letzten Entnahmezeitpunkt und dem
nächsten Bedarfszeitpunkt.
Die allgemeine Kostenfunktion für eine Sicherheitszeit (SZ), die z Verbrauchsperi-
oden lang ist (als Verbrauchsperiode wird die Zeitspanne bezeichnet, in der genau eine
Entnahmemenge verbraucht wird) lautet
Verwendet man als Sicherheitszeit eine halbe Verbrauchsperiode (z =
1
2
–), dann erhält man
9
die Kostenfunktion von Harris:
D.
Der von Andler zitierte Artikel mit der Harris-Formel
Andler zitiert die Harris-Formel aus einem Artikel, der am 5. Juli 1924 im Heft Nr. 4 (1.
Jahrgang) der deutschsprachigen Fachzeitschrift Technik und Betrieb: Zeitschrift für Ma-
schinentechnik und Betriebsführung erschienen ist. Diese Zeitschrift wurde vom Verlag
Art. Institut Orell Füssli mit Sitz in Zürich gedruckt und verlegt. Initiiert und herausgege-
ben wurde sie vom VSM-Normalienbureau (VSM = Verein schweizerischer Maschinen-
Industrieller). Chefredakteur dieser Zeitschrift war ein Herr H. Zollinger.
Ungewöhnlich für einen wissenschaftlichen Artikel ist, daß anstatt eines ausgeschrie-
benen Autorennamens am Ende des knapp eineinhalbseitigen Textes (nicht ganz drei
Spalten bei zweispaltigem Druck, Abb. 68) lediglich die Abkürzung „Hsr.“ angegeben
ist. Weder das Inhaltsverzeichnis noch das Impressum geben Auskunft darüber, für wen
diese Abkürzung steht. Der Autorennamen ist deshalb von gewissem Interesse, weil es
sich bei dem Artikel um die erste deutschsprachige Veröffentlichung der Harris-Formel
handeln könnte (Quellen sind im gesamten Artikel keine genannt). Falls das „H“ im Na-
men des Chefredakteurs für Hans steht, könnte Hsr. das Autorenkürzel des Chefredakteurs
sein (Hans Zollinger). Dies ist aber bisher reine Spekulation.
Die Nichtnennung eines ausgeschriebenen Autorennamens könnte bedeuten, daß es
sich nicht um eine originäre Arbeit des Hsr. handelt, sondern um die Übersetzung – und
eventuell Zusammenfassung – eines vermutlich englischsprachigen Aufsatzes. Im Jahr
1922 erschien in der englischsprachigen Fachzeitschrift Management Engineering von
W. E. Camp der Aufsatz „Determining the production order quantity“, der nach Erlen-
kotters Recherchen große Bedeutung für die Verbreitung der Harris-Formel in Europa ge-
habt hat. Erlenkotter (1990, S. 938) schreibt: „to many Europeans it [die Harris-Formel]
is known as ‘Camp’s formula’“. Und er zitiert aus dem 1934 von L. P. Alford herausgege-
benen Handbuch Cost and Production Handbook (New York: Ronald Press): „William E.
Camp was the first to present (1922) a general formula to determine the production order
quantity, such that the total cost per unit for setting up plus interest on stores investment
would be a minimum“ (zitiert nach Erlenkotter 1990, S. 939).
10
Abb. 6: Seite 1 des Artikels von Hsr. in Technik und Betrieb Jahrgang 1 (1924), S. 81–83. Abdruck
mit freundlicher Genehmigung des Orell Füssli Verlags, Zürich.
11
Abb. 7: Seite 2 des Artikels von Hsr. in Technik und Betrieb Jahrgang 1 (1924), S. 81–83. Abdruck
mit freundlicher Genehmigung des Orell Füssli Verlags, Zürich.
12
Abb. 8: Seite 3 des Artikels von Hsr. in Technik und Betrieb Jahrgang 1 (1924), S. 81–83. Abdruck
mit freundlicher Genehmigung des Orell Füssli Verlags, Zürich.
13
E.
Zusammenfassung und Schlußbemerkungen
Ausgehend von der Feststellung, daß entgegen der weit verbreiteten Ansicht der durch-
schnittliche Lagerbestand im klassischen Losgrößenmodell nicht der halben Losgröße
entspricht, wurden die folgenden Erkenntnisse dargestellt:
1. Der durchschnittliche Lagerbestand ist bei den Standardannahmen des klassischen
Losgrößenmodells gleich der Hälfte des Wertes „Losgröße minus eine Entnahme-
menge“. Als Folge weicht die tatsächliche optimale Losgröße von der „optimalen“
Losgröße nach Harris ab. Dies hat Andler bereits in seiner Dissertation (veröffent-
licht im Jahr 1929) dargestellt.
2. Die anteiligen Rüstkosten sind entscheidungsrelevante Bestandteile des im Lager-
bestand gebundenen Kapitals. Dadurch ist die Höhe des pro Stück gebundenen Ka-
pitals abhängig von der Losgröße, und ein konstanter Lagerhaltungskostenfaktor
kann streng genommen nicht verwendet werden.
3. Die Annahme eines Mindestbestands in Höhe der halben Entnahmemenge führt
entgegen den Vermutungen von Andler (1929) und Malich (1957) nicht zur Harris-
Formel für die optimale Losgröße. Der Grund hierfür ist, daß im Mindestbestand
keine anteiligen Rüstkosten gebunden sind. Entgegen der allgemeinen Formel von
Malich (1957) hat ein konstanter Mindestbestand, sofern er nicht von der Losgröße
abhängt, keinen Einfluß auf die Höhe der optimalen Losgröße.
4. Die Harris-Formel ist zutreffend bei Annahme einer Sicherheitszeit von der Län-
ge einer halben Verbrauchsperiode, das heißt, wenn die Lose früher als notwendig
angeliefert werden und die Bedarfsmenge zwischen Anlieferung und nächster Ent-
nahme genau einer halben Entnahmemenge entspricht.
Bemerkenswert ist, daß Harris’ Ausdruck für den durchschnittlichen Lagerbestand
seit nun schon über 90 Jahren offenbar universell verwendet wird. Verblüffend ist insbe-
sondere, daß die resultierende Formel für die optimale Losgröße in der deutschsprachi-
gen Literatur nicht selten auch als Andlersche Losgrößenformel bezeichnet wird, Andlers
Arbeit also offenbar nicht vollständig ignoriert wurde, trotzdem aber Andlers genauerer
Ausdruck für den durchschnittlichen Lagerbestand und seine Formel für die optimale Los-
größe keinen Eingang in die Literatur gefunden haben. Es mag hierbei eine Rolle spielen,
daß Andler selbst in seiner Dissertationsschrift letztendlich die Harris-Formel verwendet.
Er entwickelt die Harris-Formel aber nicht, wie in manchen deutschsprachigen Büchern
14
gelesen werden kann, unabhängig von Harris noch einmal selbst, sondern zitiert sie aus
einer deutschsprachigen Quelle, die er explizit benennt (so ist Andlers Schrift auch nicht
etwa die erste Veröffentlichung im deutschsprachigen Raum, in der das klassische Los-
größenmodell beschrieben wird). Die Bezeichnung Andlersche Losgrößenformel für die
Harris-Formel ist demnach in zweifacher Hinsicht unangemessen: (1.) Andler beschreibt
und verwendet zwar die Harris-Formel, erfindet sie aber nicht noch einmal selbst, und
(2.) er entwickelt sogar eine genauere Formel, die tatsächlich die Bezeichnung Andler-
sche Losgrößenformel zu Recht tragen würde. Diese Andler-Formel sollte nach beinahe
80 Jahren unangemessener Nichtbeachtung nun endlich in adäquater Form in die betriebs-
wirtschaftliche Literatur aufgenommen werden.
Anhang
Die Abbildungen 9 bis 12 zeigen die Seiten 48 bis 55 aus Andlers Dissertation.
Literatur
Andler, K. (1929), Rationalisierung der Fabrikation und optimale Losgröße. Mün-
chen: R. Oldenbourg.
Camp, W. E. (1922), Determining the production order quantity. Management Engi-
neering 2, 17–18.
Erlenkotter, D. (1989), An early classic misplaced: Ford W. Harris’s economic order
quantity model of 1915. Management Science 35, 898–900.
Erlenkotter, D. (1990), Ford Whitman Harris and the economic order quantity model.
Operations Research 38, 937–946.
Harris, F. W. (1913), How many parts to make at once. Factory, The Magazine of
Management 10, 135–136, 152. Nachdruck erschienen in Operations Research 38
(1990), 947–950.
Hsr. (1924), Berechnung der Stückzahl für Fabrikationsserien. Technik und Betrieb:
Zeitschrift für Maschinentechnik und Betriebsführung 1, 81–83.
Malich, S. (1957), Betriebsnotwendige Lagerreserve und optimale Losgröße. Zeit-
schrift für Betriebswirtschaft 27, 448–457.
Tempelmeier, H. (2005), Bestandsmanagement in Supply Chains. Norderstedt: Books
on Demand.
15
Abb. 9: Seiten 48 und 49 aus Andler (1929). Abdruck mit freundlicher Genehmigung des Olden-
bourg Wissenschaftsverlags, München.
16
Abb. 10: Seiten 50 und 51 aus Andler (1929). Abdruck mit freundlicher Genehmigung des Olden-
bourg Wissenschaftsverlags, München.
17
Abb. 11: Seiten 52 und 53 aus Andler (1929). Abdruck mit freundlicher Genehmigung des Olden-
bourg Wissenschaftsverlags, München.
18
Abb. 12: Seiten 54 und 55 aus Andler (1929). Abdruck mit freundlicher Genehmigung des Olden-
bourg Wissenschaftsverlags, München.
19
Summary
In the well-known economic order quantity (EOQ) model, the average cycle inventory is,
contrary to the popular, more than 90 years old belief, not equal to one-half the lot size,
but it is in fact equal to one-half the result of “lot size minus one withdrawal quantity.”
The German engineer Kurt Andler already presented this discovery in his doctoral disser-
tation published in 1929, but to this date—even in the German-speaking countries—this
observation has not become part of the common body of knowledge in operations mana-
gement. Andler’s more accurate term for the average cycle inventory leads to a different
EOQ formula. This investigation also reveals that setup costs must be considered as part
of the capital invested in inventory, a fact Harris already pointed out in his 1913 article,
which is widely believed to be the first publication on the EOQ model. This means that,
strictly speaking and contrary to most presentations in the literature, a constant inventory
carrying charge may not be used. Andler believed, erroneously, that Harris’ EOQ formula
was correct for a constant minimum inventory level of one-half the withdrawal quantity. It
turns out that Harris’ EOQ formula indeed is accurate only if a safety lead time the length
of one-half the time needed to consume the withdrawal quantity is employed.
Zusammenfassung
Der durchschnittliche Lagerbestand im klassischen statischen Losgrößenmodell mit un-
endlicher Produktionsgeschwindigkeit entspricht nicht, wie seit über 90 Jahren allgemein
angenommen wird, der halben Losgröße, sondern der Hälfte des Wertes „Losgröße minus
eine Entnahmemenge“. Andler hat schon in seiner im Jahr 1929 veröffentlichten Disserta-
tion diese Erkenntnis dargestellt, bisher fand sie aber keine angemessene Beachtung in der
betriebswirtschaftlichen Literatur. Der genauere Ausdruck für den durchschnittlichen La-
gerbestand führt zu einer anderen Formel für die optimale Losgröße. Auch zeigt sich, daß
die Rüstkosten als Teil des im Lagerbestand gebundenen Kapitals berücksichtigt werden
müssen, wie dies bereits Harris im Jahr 1913 in der vermutlich ersten Veröffentlichung
zum klassischen Losgrößenmodell getan hat. Das bedeutet, daß ein konstanter von der
Losgröße unabhängiger Lagerhaltungskostensatz entgegen den meisten Beschreibungen
in der Literatur streng genommen nicht verwendet werden kann. Andler glaubte irrtüm-
lich, daß die Harris-Formel exakt wäre bei Annahme eines Mindestbestands in Höhe einer
halben Entnahmemenge. Exakt ist die Harris-Formel tatsächlich, wenn eine Sicherheits-
vorlaufzeit von der Länge der halben Reichweite einer Entnahmemenge verwendet wird.
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